第四十六章 计算 (第1/2页)

    应该说，微分和积分为什么互为逆运算，而且为什么通过反求导就能求出区域面积，这大概是在学习微积分的时候，很多人最难理解的一个点。

    甚至曾经在很早之前，大家都把微分和积分看作是两个互不关联，毫不相关的东西去看待，直到后面出现了牛顿和莱布尼茨。

    考虑到证明的过程是很难直观去理解的，所以李纵才举了这么一个或许并不太严谨，但却意外好懂的例子，把求积分的图，当成是瞬间速度变化的图。

    然后求从a到b时间之内，到底走过了多少路程，这是不是就是反求导之后，用大写的f代表原函数，黄色区域的面积就等于f(b)-f(a)。

    这正是计算积分十分重要的一个公式，将连续的需要求和的一条条铅垂线的过程，转变成了只需要代入边界的值，一减就能求出面积。

    见两人还在犹豫，李纵也是把路程等于速度乘以时间，面积等于底边乘以高，两者都是乘法的这么一个过程写了出来，道：“其实我们不必纠结于为什么路程可以看成是面积。”

    “我们只需要知道他们都同样是乘法运算，而且，都是函数关于一滴滴的单位之内，会得到某个值就行了。”

    “而且，如果反过来理解，求积分的这个图，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的时间之内，面积的变化率。”

    见两人还在沉思，李纵便继续道：“那么，假设这种想法是对的，我们已经得知，这两种运算存在着一种互逆的关系，那么，我们可以怎么使用这种关系？”

    “是不是就可以求积分了，积分原本是要把很多很多的铅垂线的面积加起来，正常来说，我们人是办不到的，但是如果能把它转换为微分时的原函数，积分是不是就可以计算了。”

    “直接代入两个边界的点，一减，答案不就出来了。b点的里程，比如说15里，减去a点的里程，比如说10里，一减，中间的5里，就是我们走过的路程。”

    “那么问题来了！这个积分的函数，跟它微分时的原函数，到底存在着一种什么样的关系。”

    “或者说，我现在已经知道了积分的函数了，就是等于y=2x，那么，微分时的原函数，是什么？所以是不是就是一次从微分的结果，反推微分的开头的这么一个过程。”

    “那接下来我们便尝试着拿一个例子，来求一次微分。”

    “比如说原函数y=x2，根据刚刚微分的定义，是不是就可以有以下这个式子：”

    图。

    “此式子怎么理解，刚刚我们是用t-a的方式，但这样显然是算不出来的，所以我们把t换成x Δx，代表t比a多了那么一滴滴增量，但是这个增量又是无限小，我们定义无限小不等于0，但是它无限趋近于0。”

    “接下来便可以对式子进行运算。”

    图。

    “正如同前面我们说让t就是等于a，那么很短很短的时间，也就没有争议。这个的Δx，我们把他视为是没有增量，那么这条式子最后，微分出来，等于2x也就没有争议了。”

    “当然，前提是，我们定义了无限小，是趋向于0。”

    “这正好就